TSIU61: Reglerteknik. de(t) dt + K D. Sammanfattning från föreläsning 4 (2/3) Frekvensbeskrivning. ˆ Bodediagram. Proportionell }{{} Integrerande

Transkript

1 TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT 207 / 25 Innehåll föreläsning 5 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 5 Frekvensbeskrivning Bodediagram Gustaf Hendeby ˆ Sammanfattning av föreläsning 4 ˆ Introduktion till frekvensbeskrivning ˆ Sinus in, sinus ut ˆ Frekvensfunktion ˆ Bodediagram gustaf.hendeby@liu.se TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Sammanfattning från föreläsning 4 (/3) t u(t) = K P e(t) + K I e(τ) dτ }{{} t 0 Proportionell }{{} Integrerande e(t) = r(t) y(t) är reglerfelet. PID formuleringar Laplacetransform för PID regulatorn ( U(s) = K P + K ) I s + K Ds E(s) En alternativ parametrisering ( U(s) = K + ) T I s + K Ds E(s) + K D de(t) dt }{{} Deriverande TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Sammanfattning från föreläsning 4 (2/3) Intuition för PID-regulator P -reglering betrakatar felet just nu (minskar reglerfelet) I -reglering minns även gamla fel (tar bort stationärt fel) D -reglering förutser vad som kommer att hända (stabiliserar)

2 TSIU6 F orel asning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Sammanfattning av f orel asning 4 (3/3) F or ett insignal-utsignalstabilt aterkopplat systemet g aller: r(t) = A r(t) = At r(t) = A 2 t 2 = Om e0 = 0 = Om e0 = e = 0 = = S(0) s 0 + Go (s) S(0) e = lim = lim s 0 sgo (s) s 0 s S(0) e2 = lim 2 = lim 2 s 0 s Go (s) s 0 s e0 = lim Frekvensbeskrivning Felkoefficienterna kan allts a ses som koefficienter i en serieutveckling av k anslighetsfunktionen S(s) = e0 + e s + e2 s TSIU6 F orel asning 5 Gustaf Hendeby Exempel: h ogtalarspecification HT / 25 TSIU6 F orel asning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Exempel: best am h ogtalarspecification H ogtalartest: En testsignal (en sinusformad sp anning) skickas till h ogtalaren. En mikrofon m ater ljudet och registrerar f orst arkningen fr an sp anningsstyrka till ljudvolym. Typiska fenomen: M atsignalen (ljudet) har samma frekvens (skulle l ata v aldigt illa annars) men f orst arkningen beror p a frekvensen.

3 TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Exempel: frekvenssvar TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Exempel: frekvenssvar Insignal: u(t) = π 2 sin(πt) Insignal: u(t) = π 2 sin(4πt) Utsignal: Sinussignal med en amplitud på ungefär 3 m Utsignal: Sinussignal med en amplitud på ungefär 80 cm TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Exempel: frekvenssvar TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Sinus in, sinus ut Insignal: u(t) = π 2 sin(0.5πt) Experimentellt underbyggd tes Utsignal: Sinussignal med en amplitud på ungefär 6 m Sinussignal in ger sinussignal ut (assymptotiskt efter att effekter av begynnelsetillståndet försvunnit)

4 TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Exempel: sinus in, sinus ut TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT 207 / 25 Sinusar kan approximera mycket Många signaler som inte ser ut som sinusar kan approximeras med sinusar. Ex fyrkantsvåg, N anger hur många sinusar som används. N = N = 5 N = 2 N = 00 TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Frekvensanalys av ögondynamik Bodediagram Ögat har en reglermekanism som ser till att lagom ljusmängd kommer till näthinnan genom att pupillens storlek anpassas till det infallande ljuset.

5 TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Grafisk framställning av frekvensfunktionen Frekvensfunktionen kan skrivas som i arg G(iω) G(iω) = G(iω) e TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Frekvenssvar Bodediagram består av: ˆ Amplitudkurva G(iω) ˆ Faskurva arg G(iω) G(s) = s + TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Frekvenssvar Bilens förstärkning från rattutslag till lateral position TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Hendrik W. Bode ( ) Bodediagrammets upphovsman ˆ 905 född i Wisconsin, USA ˆ 926 Bell Labs ˆ Jobbade med t ex filter och utjämnare ˆ Sen mer med teoretiska aspekter (Math Research Department) relaterat till bl a långdistanstelefoni ˆ 935 PhD Columbia Unversity, NYC ˆ 938 belopps- och faskurva för stabilitet ˆ WWII: var med och utvecklade elektriska styrsystem för avfyrning. Senare också inom missilsystem.

6 TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Varför är bodediagram bra? TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = s + p Lutningen ges i db-skalan av 20 db per 0 rad/s, eller 20 db per dekad.. Seriekoppling av system är enkelt (addera kurvorna). 2. Potenser av s blir räta linjer. Dekad = 0-potens TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = s + p TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Andra ordningens system Bodediagram för G(s) = s 2 + 2ζs + Den asymptotiska approximationen är dålig nära resonanstoppen. G(iω) : Amplitudkurva (belopskurva) log-log-skala (ofta i db) arg G(iω): Faskurva (argumentkurva) lin-log-skala

7 TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Ytterligare ett exempel G(s) = (s + )(s + 0) Statisk förstärkning: G(0) = 0 (= 20 db) TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Bodediagram för allmänna system Allmän rationell överföringsfunktion: G(s) = K( + s z )( + s z 2 )... ( + s z m ) s p ( + s p )( + s p 2 )... ( + s p n ) Amplitudkurva: log G(iω) = log K p log ω + log + iω z + + log + iω z m log + iω p log + iω p n Faskurva: arg G(iω) = p90 + arctan ω z + + arctan ω z m arctan ω p arctan ω p n Asymptotiska bodediagram ger en oftast bra approximation av den exakta kurvan, undantag är frekvensområden där flera närliggande brytpunkter bryter åt samma håll och nära en resonanstopp. Tumregel ˆ Brytpunk i täljaren = Asymp. Ampl. kurvans lutning ökar med. ˆ Brytpunk i nämnaren = Asymp. Ampl. kurvans lutning minskar med. TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Bodediagram för ögondynamik Experiment Genom att utföra en rad sinus in, sinus ut experiment kan vi skissa upp ett bodediagram för ögondynamiken. Vi har experimentellt tagit reda på systemets dynamik genom att göra mätningar på systemet. Sammanfattning

8 TSIU6 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT / 25 Några begrepp som får summera föreläsning 5 Bodediagram: Figurer som var för sig visar amplitudkurvan och faskurvan som funktion av ω ˆ G(iω) Amplitudkurva (beloppskurva), log-log-skala ˆ arg G(iω) Faskurva (argumentkurva), lin-log-skala Brytpunkt: Den frekvens där 2 asymptoter skär varandra i ett bodediagram